Berømt og forhadt: Sådan blev tallet 0 til

I 628 e.Kr. opfinder den indiske matematiker Brahmagupta tallet 0 og ophøjer dermed ingenting til et tal. Den nye viden er så forvirrende, at mennesker i hele verden kommer til at hade nullet, og italienerne går så langt som til at forbyde det ved lov.

I 628 e.Kr. opfinder den indiske matematiker Brahmagupta tallet 0 og ophøjer dermed ingenting til et tal. Den nye viden er så forvirrende, at mennesker i hele verden kommer til at hade nullet, og italienerne går så langt som til at forbyde det ved lov.

Shutterstock

Da den indiske astronom og matematiker Brahmagupta i år 628 e.Kr. lagde sidste hånd på sit store videnskabelige værk Brahma- Sphuta Siddhanta, vidste han ikke, at han ville blive både berømt og forhadt.

Oversat fra det indiske sprog sanskrit betyder titlen Universets åbning. Og hele verden kom med tiden til at kende bogen.

Den 30-årige videnskabsmand havde arbejdet med bogen i årevis – takket være økonomisk støtte fra kong Vyaghramukha, som herskede over Brahmaguptas hjemegn i det nordindiske Rajasthan.

Som kongelig videnskabsmand havde Brah­ma­gup­ta bl.a. til opgave at studere himlen og fysikkens love. For at indsamle viden rejste han jævnligt mellem hjembyen Bhillamala og det kongelige astronomiske observatorium i Ujjain, 500 km længere mod syd.

En skatteopkræver kunne umuligt opkræve negativ skat, og en landmand kunne ikke eje minus tre køer.

Sine resultater og teorier nedfældede Brahmagupta i Brahma Sphuta Siddhantas 24 kapitler udformet på vers. Verseformen skulle gøre teksterne lettere at recitere og huske.

Værket rummede kapitler om de fleste videnskabelige discipliner – fx beskrev Brahmagupta tyngdekraftens evne til at holde ting fast på Jordens overflade 1.000 år før Newton.

Efter at have observeret lysets fald på overfladen af en gryde konkluderede Brahmagupta, at Solen var længere væk fra Jorden end Månen.

Ud over astronomi og fysik omhandlede bogen matematik, og det var her, Brahmagupta med få linjer sendte et jordskælv gennem videnskabens verden.

Som den første satte det indiske geni tal på ingenting, og han forklarede også, hvordan tal kunne have negativ værdi.

Brahmagupta fik tal til at forsvinde

Bogens teorier var overrumplende, og ingen af Brahmaguptas samtidige fagfæller kunne få de nye regneregler til at stemme. Fx beskrev Brahmagupta, at nul kunne indgå i regnestykker som ethvert andet tal.

“Når 0 føjes til et tal eller trækkes fra et tal, forbliver tallet uændret. Et tal ganget med 0 bliver 0”, lød en af Brahmaguptas regler.

Men når 1 +/- 0 gav 1, hvordan kunne 1 gange 0 så give 0? Hvor blev ettallet af? Datidens matematikere var i chok.

En anden ubegribelighed i den nye matematik var brugen af positive og negative tal, som Brahmagupta kaldte henholdsvis “formue” og “gæld”. Bogen gav følgende eksempler på negative tal:

“En gæld minus 0 er en gæld”, og “gange eller division af en gæld med en formue resulterer i en gæld”.

Med ét slag havde Brahmagupta gjort nul til midtpunktet på en akse med positive tal på ene side og negative tal på den anden.

Men ingen almindelige mennesker forstod, hvordan regnestykker kunne ende med et negativt resultat.

En skatteopkræver kunne ikke opkræve negativ skat, og en landmand kunne ikke eje minus tre køer. For købmænd i datidens Indien gav et regnestykke som fx syv minus 13 hverken et resultat eller mening.

Brahmaguptas negative tal var så uforståelige for almindelige mennesker, at de i flere hundrede år kun blev brugt af lærde matematikere under udregning af ligninger.

Nul var så grænseoverskridende et koncept, at det tog århundreder, før tallet fik sit gennembrud.

Det tidligste eksempel på nul som et selvstændigt tal har arkæologerne fundet på en indisk stentavle fra 876 e.Kr. – altså 247 år, efter at Brahmaguptas bog udkom.

Ifølge inskriptionen fik den indiske by Gwalior, 400 km syd for Delhi, anlagt en have, som hver dag kunne producere 50 blomsterranker til et lokalt tempel.

På stentavlen blev 50 for første gang angivet som fem og et lille, rundt nul.

Egyptiske skrivere måtte tegne små kunstværker, når de skrev tallet 3.244.

© Shutterstock

Store tal gav hovedpine

Tallene fra et til 10 var lette at håndtere for alle oldtidens stolte civilisationer, men at skrive tusinder var ret uoverskueligt.

Oldtidens store civilisationer havde alle et veludviklet talsystem, men såvel kineserne som egypterne og romerne døjede med store tal.

Hvis flere tusind af en vare skulle angives i et dokument, kom skriveren på overarbejde, for tallet blev langt at grifle ned.

Når skriveren skulle foretage udregninger, var det heller ikke til nogen hjælp at skrive ét tal under et andet og bagefter trække det nederste fra det øverste.

Dertil var de lange tal alt for uoverskuelige.

I stedet måtte oldtidens skrivere og købmænd bruge en kugleramme til at foretage beregningerne på.

De tidligste nuller var kantede

Negative tal var dog ikke Brahmaguptas opfindelse, de stammede fra Kina.

I værket Ni kapitler om den matematiske kunst, som blev samlet af en række lærde kinesere fra ca. 1000 f.Kr. til 200 f.Kr., handlede kapitel otte om brug af negative tal i ligninger.

Allerede i 400-tallet e.Kr. skrev de første indiske matematikere om kinesernes underlige tal, men Brahmagupta foretog komplicerede udregninger med dem.

Nullet fandtes også i en primitiv form i oldtidens Babylon, længe inden Brahmagupta skrev sit værk.

Det babylonske imperium, som lå mellem floderne Eufrat og Tigris i nutidens Irak, var gået under, næsten 1.200 år før Brahmagupta levede, men babylonierne elskede at skrive alting ned på lertavler, som derefter blev bagt i en ovn, så inskriptionerne brændte sig fast.

Deres viden blev dermed bevaret for eftertiden.

Arkæologer har bl.a. fundet tavler fra ca. 700 f.Kr. med babylonsk kileskrift, hvor nul eller ingenting er markeret som to skævt vinklede kiler formet med skriverens spidse griffel.

Det babylonske nul var dog ikke et selvstændigt tal, men fungerede som en pladsholder. Når fx en babylonsk købmand skrev 104 i sine regnskaber, var nullet enten markeret som en tom plads mellem to tal eller med to kiler: 1“4.

Til stor forvirring skrev babylonierne sjældent tegnet for ingenting sidst i et tal. Så 140 blev skrevet som 14. Det var op til læseren af lertavlen at udlede tallets størrelse ud fra sammenhængen.

Inderne talte på fingrene og danskerne på tæerne

Mennesket har altid haft en simpel lommeregner lige ved hånden, nemlig hænderne. I Nordeuropa talte befolkningen også tæerne med.

Hændernes 10 fingre gjorde det allerede i stenalderen oplagt for vores forfædre at anvende et titalssystem til at tælle med.

De ældste spor af titals-systemet stammer fra Centralasien 7.000 år f.Kr., men et skriftligt system med selvstændige symboler for hvert tal opstod først omkring år 500 f.Kr. i Indien.

Eksperterne mener, at talsystemet vandrede med folkeslag fra det centrale Asien og videre til Europa i løbet af 400-tallet f.Kr. Nullet stødte først til over 1.000 år senere.

I det keltiske Frankrig, på de britiske øer samt i Danmark talte befolkningen imidlertid også tæerne med og havde derfor et tyvetalsystem.

På dansk ses blandingen af titals- og tyvetalssystemet i dag stadig i fx tallet halvtreds.

Små regnestykker gav danske tal deres navne

50

Halvtreds er en forkortelse for halvtredsindstyve. Halvtredje betød 2,5, og sinde betød gange. Altså 2,5 x 20 = 50.

60

Tres er en forkortelse for tresindstyve. Altså 3 x 20 = 60.

70

Halvfjerds er kort for halvfjerdssindstyve (halvfjerde sinde tyve). Altså 3,5 x 20 = 70.

80

Firs er kort for firsindstyve. Altså 4 x 20 = 80.

90

Halvfems er kort for halvfemsindstyve (halvfem sinde tyve). Altså 4,5 x 20 = 90.

Ingen gad bruge babyloniernes tal

Trods denne åbenlyse ulempe var det babylonske talsystem bedre til bogføring og regnskab end de talsystemer, som Middelhavsområdets store civilisationer dengang benyttede.

Men hverken egypterne, grækerne eller romerne tog nullet til sig. Heller ikke negative tal blev vist nogen større interesse.

Hos grækerne havde talteoretikere som fx Pythagoras (580 f.Kr. – 500 f.Kr.) og Euklid (ca. 325 f.Kr. – 265 f.Kr.) koncentreret sig om geometriske beregninger af trekanter og firkanter ved hjælp af formler.

Almindelig aritmetik, regning med plus og minus etc., var i oldtidens Grækenland overladt til bønder og købmænd, der talte på fingrene, hvilket bremsede udviklingen af et praktisk system med skrevne tal.

Heller ikke hos romerne og egypterne blev nullet eller negative tal noget, en skriver regnede med. Bogføring – fx opgørelser over et lager med handelsvarer – blev enten foretaget med en kugleramme, ved at flytte bunker af småsten eller ved at tælle på fingrene.

Ville egypterne og romerne angive et stort tal, måtte de skrive mange symboler ved siden af hinanden og lægge dem sammen.

I Romerriget stod fx L for 50 og V for 5. Stod de to symboler ved siden af hinanden som LV, betød de 55. Skiftede symbolerne plads, skulle V trækkes fra L – og så betød VL i stedet 45.

Ulempen ved egypternes og romernes systemer var, at et tal kunne blive meget langt.

Flere hundrede år senere havde indernes titalssystem med Brahmaguptas nul omsider en smart løsning på problemet. Men ingen viste interesse for opfindelsen.

Araberne så lyset

I 773 e.Kr. modtog kaliffen i Bagh­dad en indisk delegation fra byen Ujjain. Med sig havde in­der­ne Brahmaguptas tekster.

Især kaliffens søn Harun al-Rashid var begejstret for de nye, videnskabelige idéer, og da han kom til magten i 786 e.Kr., samlede han al den viden, som flød ind i Baghdad, i et akademi kaldet Visdommens Hus.

En af akademiets bedste hjerner var matematikeren Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (ca. 780-850).

På kaliffens ordre kastede han sig over opgaven med at oversætte Brahmaguptas værk til arabisk.

Tallet nul var omsider på vej mod verdensberømmelse.

Spanske købmænd var skeptiske over for de nye “hedenske tal”, som arabiske tal blev kaldt.

Videnskabsmanden forstod straks, hvor revolutionerende Brahmaguptas tanker var. Nul og negative tal kunne bruges til at reducere ligninger. Det nye tegn fik navnet “sifr” på arabisk, hvilket med tiden blev til ordet ciffer på flere europæiske sprog.

Brahmaguptas bog åbnede også al-Khwarizmis øjne for de indiske tal, som var nemme at skrive og enklere at forstå.

Tallene gik fra et til ni og havde hver især et enkelt, letlæst symbol.

Med dem og det lille nul var det muligt at skrive et nyt matematisk sprog, som bestod af formler med ubekendte og variabler til at løse fx andengradsligninger. Al-Khwarizmi kunne dermed skabe en helt ny matematisk disciplin: algebra.

Snyd og bedrag førte til forbud

De nye tal og teorier nåede hurtigt Europa via Spanien, som araberne havde erobret. Spanske købmænd var i begyndelsen skeptiske over for de nye hedenske tal, som de kaldte “arabertal”, men endte med at acceptere dem.

Med Brahmaguptas nul og de ni andre indiske tal var det meget nemmere at afstemme et regnskab frem for med de lange romerske tal, som mange brugte.

Også italienske købmænd var med til at indføre nullet i Europa. Italienerne handlede med araberne i såvel Mellemøsten som Nordafrika – og indså snart det smarte i at bruge nullet og “arabertallene”. En af dem var matematikeren

Leonardo Fibonacci (1170-1250), som var begejstret over at slippe for kuglerammen, når han foretog sine beregninger.

Helt indtil 1400-tallet led mange europæiske skatteopkrævere stadig med alenlange romertal, som de noterede i deres regnskabsbøger.

© Bridgeman

Fibonacci voksede op i Nordafrika, hvor hans far arbejdede som handelsrepræsentant for byen Pisa. Under årene i Afrika lærte drengen om nullet og de nye tal, som ankom med arabiske købmænd fra øst. I sin bog om beregninger, Liber Abbaci fra 1202, skriver Fibonacci bl.a.:

“Der (i Nordafrika, red.) blev jeg introduceret til kunsten af de ni indiske symboler (…) en viden, som snart glædede mig mere end noget andet”.

Matematikerens begejstring blev delt af Italiens mange bystater, som levede af handel. Men med de nye tals ankomst blev det også nemmere at snyde, advarede nogle.

Fx kunne ni og seks med et pennestrøg forfalskes til et nul, og tallet et kunne ændres til syv.

Byen Firenze forbød derfor i 1299 de nye tal, men forbuddet måtte ophæves i 1316, da ingen overholdt loven. Firenzes driftige købmænd nægtede at opgive de nye tal.

Nullet indtog Europas universiteter

Med renæssancens indtog i 1400-tallets Europa blev gammel viden genopdaget. Matematikere jublede, da latinske oversættelser af Al-Khwarizmi og araberens bearbejdning af Brahmaguptas tekst dukkede op på Vestens universiteter.

Algebra og Brahmaguptas 0 fik stor succes, mens de negative tal blev afvist som ulogiske i fx geometri. En kegle kunne ikke have et negativt rumfang.

Først med koordinatsystemet, som blev lanceret af den franske matematiker René Descartes (1596-1650), blev Brahmaguptas negative tal omsider populære.

Med inderens regneregler blev det muligt at indsætte formler i et koordinatsystem med nullet som centrum.

Men negative tal blev i århundreder ved at volde så store problemer for nogle, at de blev lagt for had:

“De formørker ligningernes doktriner og gør de ting mørke, som i deres natur ellers er klart indlysende og enkle”, skumlede den britiske matematiker Francis Maseres så sent som i 1758.